Fisika Veritas: Diskritisasi dan Listing Program C Persamaan Laplace 2-Dimensi

Sebelum membaca artikel ini lebih jauh, kami harap pembaca Fisikaveritas sudah familiar dengan persamaan Laplace, teknik iterasi dan juga pemrograman C; jika belum, kami menganjurkan pembaca Fisikaveritas untuk membaca artikel berikut ini terlebih dahulu:
:: Iterasi Persamaan Linier Simultan, Apakah itu?
:: Konsep Tentang Persamaan Laplace

Persamaan Laplace 2-dimensi adalah sebagai berikut

Kenapa kita perlu melakukan diskritisasi persamaan diferensial? Apa maksudnya diskritisasi?

Kita perlu melakukan diskritisasi pada suatu persamaan diferensial jika solusi persamaan diferensial tersebut sulit dicari solusinya secara analitik (dengan teknik integral dan/atau diferensial), dengan melakukan diskritisasi persamaan diferensial, diharapkan kita akan mendapatkan solusi persamaan diferensial tersebut secara numerik. Nah, maksud dari diskritisasi persamaan diferensial sendiri sebenarnya adalah men-diskritkan persamaan diferensial tersebut menjadi persamaan aljabar biasa sehingga solusi persamaan diferensial tersebut dapat kita peroleh dengan teknik aljabar biasa atau dengan teknik numerik (tambah, kurang, kali, bagi, dsb). Kita tahu bahwa hampir semua persamaan diferensial di alam ini pada dasarnya adalah persamaan kontinu (tidak diskrit), solusinya ada di setiap titik dan solusinya sangat sulit didapatkan secara analitik, walaupun begitu, solusi dengan pendekatan diskrit/numerik juga sangat memuaskan.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Mungkin Kamu masih bingung dengan penjelasan di atas, kita langsung saja ke contoh kasus.
Sometime, learning by doing is the better way.

Kita mempunyai suatu pelat persegi dengan ukuran 10 cm ⨯ 10 cm, di mana temperatur pada pelat tersebut kita asumsikan steady state (tidak berubah seiring waktu). Temperatur di sisi-sisi pelat ditunjukkan pada gambar dan temperatur di sisi-sisi pelat tidak berubah, besaran-besaran fisika seperti temperatur atau lainnya yang diketahui pada sisi-sisi pelat ini disebut pula sebagai syarat batas (boundary conditions).

Gambar 1. Pelat Persegi dengan Temperatur di Sisi-sisinya

Nah, tujuan kita adalah mencari tahu temperatur (T) di setiap titik pada pelat tersebut, caranya adalah dengan mencari solusi persamaan Laplace pada pelat kita itu.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Ada dua cara untuk mencari solusi persamaan Laplace 2-dimensi di atas, pertama adalah dengan cara analitik dan yang kedua adalah dengan cara numerik (diskritisasi). Sebelum kita melangkah ke penyelesaian persamaan Laplace dengan cara numerik, kita lihat dulu solusi persamaan Laplace secara analitik berikut untuk membandingkan saja, dengan asumsi Kamu sudah belajar tentang cara penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode separasi variabel:

Lakukan pembagian pada persamaan di atas dengan X(x)Y(y), didapatkan persamaan separasi variabel berikut

Dari persamaan di atas tanpa berpanjang lebar dengan mengintegralkan persamaannya, didapatkan bahwa

Didapatkan solusi umum persamaan Laplace 2-dimensi sebagai berikut

Sekarang masukkan syarat batasnya ke solusi umum di atas, maka kita dapatkan solusi khusus berikut (solusi analitiknya)

Ahhh~ gimana? Rumit ya, lupakan saja solusi analitiknya, tapi, perlu Kamu ketahui bahwa jika kita berhasil mendapatkan solusi analitiknya, enaknya kita bisa mengetahui temperatur di semua titik pada pelat tersebut, kita bisa memasukkan, katakanlah, x = 1.050 cm dan y = 4.567 cm dan kita mendapatkan temperaturnya T(1.050 , 4.567) di titik ini. Namun sayangnya, tidak semua persamaan diferensial di alam ini dapat dicari solusi analitiknya, bahkan persamaan Laplace pun jika geometrinya rumit, kita tidak bisa mendapatkan solusi analitiknya.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Nah kita langsung ke pokok permasalahan, yaitu mencari solusi numerik persamaan Laplace, kita akan mendiskritkan persamaan Laplace di atas.

Kita tahu bahwa diferensial atau turunan pada dasarnya adalah perubahan kecil suatu kuantitas atau besaran pada titik tertentu, definisi diferensial sendiri adalah

Nah, diskritisasi di sini maksudnya kita melakukan pendekatan terhadap bentuk diferensial yang kontinu di atas menjadi bentuk perubahan atau delta yang diskrit, dengan mengambil Δx sangat kecil. Mendiskritkan juga bermakna mendiskritkan domain sumbu-x dan sumbu-y pelat kita di atas: pertama-tama, kita akan mendiskritisasi domain pelat, kita membuat grid (atau mesh) serbasama pada pelat kita seperti berikut ini

Gambar 2. Grid Pelat Serbasama yang Kita Buat

Sebagai contoh kita ambil Δx = Δy = 1 cm seperti pada gambar di atas. Jadi, ada 100 grid di dalam pelat kita, 10 untuk sumbu-x dan 10 untuk sumbu-y. Selanjutnya, solusi persamaan Laplace untuk temperatur akan dicari pada setiap titik simpul grid (atau mesh) di atas.

Gambar 3. Simpul Grid yang Kita Buat

Sekarang kita diskritisasi persamaan Laplace-nya. kita anggap bahwa turunan pertama u terhadap x adalah sebagai berikut

Lalu, bentuk diskrit turunan kedua dari u adalah seperti berikut

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Nah, sekarang kita sudah tahu bagaimana kira-kira mendapatkan persamaan aljabarnya ‘kan? Dari persamaan ini, kita olah menjadi seperti berikut. Untuk memudahkan penulisan notasi, kita gunakan saja notasi berikut ini

Jadi, kita tulis ulang turunan kedua u:

Nah, sekarang dengan mengambil bentuk notasi di atas, persamaan Laplace yang awalnya berbentuk seperti ini

menjadi seperti ini

Kita olah-olah lagi (ingat, kita ambil Δx = Δy = 1 cm)

Akhirnya sampai pada persamaan Laplace berbentuk seperti berikut

Untuk memudahkan mengingat persamaan Laplace dalam bentuk seperti di atas, Kamu dapat mengingatnya dengan stencil berikut

Gambar 4. Stensil untuk Persamaan Laplace yang Sudah Didiskritkan

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Untuk iterasi kita gunakan persamaan berikut (hanya ‘dipindahruaskan’ saja)

Untuk kasus kita u adalah temperatur (T), ganti u dengan T, maka

Persamaan di ataslah yang kemudian akan kita iterasi, setelah kita iterasi, akan didapatkan solusinya. Lalu bagaimana mengiterasi persamaan di atas? Caranya mudah, kita dapat menggunakan iterasi Gauss-Seidell untuk iterasi persamaan Laplace diskrit ini. Kita tebak dulu kira-kira berapa temperatur di semua titik simpul pada grid interior pelat, kita tebak saja sebesar 30⁰C; tentu saja temperatur di setiap titik simpul pada grid interior berbeda-beda, tapi nantinya saat iterasi berlangsung, temperatur tebakan kita ini akan terkoreksi dengan sendirinya. Nah bagaimana proses iterasi berlangsung pada pelat dengan menggunakan persamaan di atas? Kita lihat sedikit iterasi pada bagian ujung kiri atas pelat.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Adapun syarat batas untuk kasus kita adalah

Tebakan awal kita

Berikut adalah gambar data temperatur pada pelat dalam bentuk grid untuk yang belum diiterasi (iterasi ke-0)

Gambar 5. Saat Belum Diiterasi, Nilai Interior Sama Dengan Tebakan Awal

Iterasi pertama pada bagian di dalam kotak ujung kiri atas pelat; kita coba lakukan perhitungan sedikit

Untuk temperatur di titik i = 1, j = 9

Untuk temperatur di titik i = 2, j = 9

Dst..

Ingat! Iterasi Gauss-Seidell memakai hasil hitung sebelumnya.

Hasilnya seperti berikut: gambar data temperatur pada pelat dalam bentuk grid untuk iterasi pertama (iterasi ke-1)

Gambar 6. Iterasi Pertama pada Ujung Kiri Atas Pelat

Lakukan iterasi untuk semua titik di interior, kemudian ulangi lagi iterasinya untuk semua titik di interior tersebut.

Sampai kapan iterasi dilakukan? Berapa kali iterasi harus dilakukan? Iterasi dilakukan terus sampai residu atau error iterasi menjadi sedekat mungkin dengan nol, maksudnya lakukan iterasi sampai hal di bawah ini tercapai

Saat hal di atas tercapai, artinya iterasi yang kita lakukan telah konvergen, solusi persamaan Laplace telah didapatkan. Kamu dapat menetapkan sendiri berapa syarat konvergensi untuk perhitungan iterasinya, bisa saja Kamu mengiterasinya sampai residunya sebesar 0.01 atau sebesar 0.001 lalu setelah residu itu tercapai, iterasinya Kamu sudahi.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Namun, menghitung sendiri iterasi di atas sangatlah membosankan dan melelahkan, Kamu dapat menggunakan komputer untuk meng-iterasi persamaan Laplace diskritnya. Berikut kami berikan kode atau listing program C untuk menghitung iterasi persamaan Laplace seperti di atas.

/*  Ditulis Oleh: Fisika Veritas (kunjungi : fisikaveritas.blogspot.com)
    Hanya berlaku pada grid serbasama, di mana delta x = delta y 
 pastikan bahwa delta x = delta y
 deltax = x/m
 deltay = y/n                                                        */

#include "stdio.h"
#include "conio.h"

main()
{
 int i, j, k, iter, m, n, x, y;
 float T[20][20], l, r, t, b, tebak, cek;

 printf("\n Program untuk Menyelesaikan Persamaan Laplace (dengan diskritisasi FDM)\n");
 printf(" Syarat Batas Dirichlet, Kartesian 2-D, Grid Serbasama\n");
 printf("\n Ditulis oleh: Fisika Veritas: fisikaveritas.blogspot.com\n");
 printf(" _________________________________________________________________________\n\n\n");


/* Bentuk: Pelat Persegi Panjang */
printf("\n\t\"Masukkan Dimensi Pelat (cm)\"\n\n");
printf("\tMasukkan Panjang, sumbu-x  (misalnya 10) : ");  scanf("%d",&x);
printf("\tMasukkan Jumlah Grid sumbu-x  (misalnya 9)  : ");   scanf("%d",&m);
printf("\tMasukkan Panjang, sumbu-y  (misalnya 10)  : ");  scanf("%d",&y);
printf("\tMasukkan Jumlah Grid sumbu-y  (misalnya 9)  : ");   scanf("%d",&n);

/* Syarat Batas*/
printf("\n\n\n\t\"Masukkan Syarat Batas Temperatur (derajat Celsius)\"\n\n");
printf("\tNilai di Sisi Kiri      (left)  : ");   scanf("%f",&l);
printf("\tNilai di Sisi Kanan  (right)  : ");  scanf("%f",&r);
printf("\tNilai di Sisi Atas      (top)  : ");  scanf("%f",&t);
printf("\tNilai di Sisi Bawah  (bottom) : ");  scanf("%f",&b);

/* Tebakan Awal */
cek = 0.5*((l*y*y)+(r*y*y)+(t*x*x)+(b*x*x))/(x*x+y*y); /* saran kami */
printf("\n\n\tMasukkan tebakan awal (kami sarankan %.2f derajat C) : ", cek); scanf("%f",&tebak);

/* Iterasi Berapa Kali? */
printf("\n\n\tIngin berapa kali Iterasi? kami sarankan 100  : "); scanf("%d",&k);

m++;
n++; 
            
 /* Mulai Definisi Syarat Batas */
 for(i=1; i<=m; i++)
 {
  T[i][1]=b;
  T[i][n]=t;
 }
            
 for(i=1; i<=n; i++)
 {
  T[1][i]=l;
  T[m][i]=r;
 }
 /* Selesai Definisi Syarat Batas */

 /* Inisiasi atau Tebakan Awal Nilai Interior */
 /* Bebas berapa saja, nanti akan terkoreksi saat iterasi
       namun jika tebakan kurang tepat, iterasi akan lebih lama */
 for(i=2; i<=(m-1); i++)
 {
  for(j=2; j<=(n-1); j++)
  {
   T[i][j]=tebak;
  }
 }
 
 /* Perhitungan dengan Metode Gauss-Seidel Matriks dari diskritisasi persamaan Laplace */
 for(iter=0; iter<=(k-1); iter++)
 {
  for(i=2; i<(m-1); i++)
  {
   for(j=2; j<=(n-1); j++)
   {
    /* Rumus dari Stencil */
    T[i][j]=(T[i-1][j]+T[i+1][j]+T[i][j-1]+T[i][j+1])/4;
   }
  }
 }
            
 /* Menampilkan hasil hitung iterasi dalam (bentuk) grid pelat persegi panjang */
 printf("\n\n Hasil hitung temperatur pelat dalam bentuk grid: \n\n\n");
 for(j=n; j>=1; j--)
 {
  for(i=1; i<=m; i++)
  {
   printf("%.2f\t", T[i][j]);
  }
  printf("\n");
 }

 printf("\n Kunjungi: fisikaveritas.blogspot.com");         

 getch();
}

/********************************************* Selesai **************************************************/

Jika Kamu tidak mau repot-repot atau tidak tahu cara meng-compile kode C program di atas, Kamu dapat langsung download programnya di sini:
Download Program Persamaan Laplace (75 kb)

Berikut adalah hasil hitung iterasi temperatur dengan menggunakan program komputer di atas, setelah iterasi dilakukan sebanyak 100 kali.

Gambar 8. Temperatur pada Setiap Simpul Grid Pelat

Terlihat bahwa di sisi atas pelat temperaturnya 100⁰C, di sisi-sisi yang lain 0⁰C (ini syarat-syarat batasnya), dan di dalam pelat temperaturnya seperti yang tertera pada hasil hitung di atas. Tampilan angka mungkin agak merepotkan, jadi kita plot saja hasil hitungnya dengan kontur warna seperti berikut ini:
(Baca artikel Fisika Veritas berikut untuk listing program dengan plot kontur warna yang lebih halus:
Plot Solusi persamaan Laplace 2-dimensi dengan Gnuplot)

Gambar 9. Plot Temperatur Hasil Hitung dalam Bentuk Kontur Warna

Sebagai perbandingan, coba kita lihat bagaimana perbedaan solusi analitik yang kontinu dengan solusi numerik yang diskrit di perpotongan tengah-tengah pelat (pada garis y = 5 cm)

Gambar 10. Perbandingan Hasil Hitung Analitik dengan Numerik pada Garis y= 5 cm pada Pelat

Perbedaannya tidak terlalu jauh ‘kan?

Nah, sekarang Kamu lihat, jika kita memecahkan persamaan Laplace secara analitik untuk kasus pelat kita di atas, kita dapat mengetahui temperatur di semua titik pada pelat, namun kesulitannya adalah memecahkan persamaannya. Berbeda halnya dengan memecahkan persamaan Laplace secara numerik, kita dapat dengan mudah mencari solusinya, namun cara mendapatkan solusinya cukup melelahkan dan membosankan jika dilakukan tanpa bantuan komputer. Kelemahan solusi numerik adalah kita tidak bisa mengetahui temperatur di semua titik pada pelat, kita hanya bisa mengetahui temperatur pada titik-titik (diskrit) yang telah kita buat pada grid saja, ketelitiannya terbatas pada seberapa kecil Δx atau Δy yang kita ambil untuk perhitungan. Memang kita bisa saja membuat gridnya lebih kecil (titik simpulnya lebih banyak) agar perhitungan lebih teliti, namun perhitungannya akan lebih banyak memakan waktu.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Orang-orang lebih menyukai memecahkan suatu persamaan diferensial secara numerik (dengan bantuan komputer) dibandingkan memecahkan suatu persamaan diferensial secara analitik, walaupun sebenarnya orang-orang lebih menyukai solusi analitik jika solusinya tersedia; perlu kita ketahui bahwa hanya sedikit sekali persamaan diferensial pada kasus nyata di dunia ini yang sudah ditemukan solusi analitiknya.

Memecahkan persamaan diferensial dengan cara numerik diaplikasikan secara luas pada dunia modeling/simulasi dan juga rendering dengan komputer.

Jika Kamu tidak mau repot-repot meng-compile programnya, Kamu dapat mengunduh Software GUI (Graphic User Interface) Solusi Persamaan Laplace di Menu Download. Contoh tampilan software-nya seperti berikut:

Gambar 11. Contoh Tampilan Software GUI Solusi Persamaan Laplace dari Fisika Veritas

Sumber bacaan terkait yang lebih formal:

Boas, Mary L., Mathematical Methods in the Physical Sciences, Second Edition. John Wiley & Sons Inc., 1983
Hirsch, Charles, Numerical Computation of Internal and External Flows, Second Edition, John Wiley & Sons, Ltd., 2007
Spiegel, Murray R. 1971. Theory and Problems of Calculus of Finite Differences and Difference Equations. McGraw-Hill, Inc. USA

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Trivia:

Solusi analitik biasanya berbentuk fungsi (analitik), sedangkan solusi numerik biasanya berbentuk angka saja (numerik).
Metode diskritisasi yang digunakan pada artikel ini adalah metode beda hingga (finite difference method / FDM) yang mana metode ini mengaplikasikan deret Taylor langsung pada definisi diferensial. Skema diskritisasi implisit.
Pada turunan pertama u, kita menggunakan pendekatan yang dinamakan first order forward difference, kita memakai deret Taylor orde-1. Sedangkan pada turunan kedua u, kita menggunakan pendekatan central difference.
Pendekatan untuk turunan pertama dan turunan kedua dapat pula ditulis seperti di bawah ini

:: Image Rendering: Teknik Mempernyata Objek 3-Dimensi

:: Simulasi Transien Elbow Mixing

Fisika Veritas

Laman

Diskritisasi dan Listing Program C Persamaan Laplace 2-Dimensi

2 comments :