Fisika Veritas: Penurunan Rumus Metode Kuadrat Terkecil

Baca dulu Cara Penyajian Data.

Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) linier adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan hubungan linier dari suatu data agar dapat diprediksi nilai-nilainya yang mana nilai tersebut tidak terdapat pada data-data yang kita miliki; terkadang proses yang melibatkan metode kuadrat terkecil untuk menentukan hubungan dua variabel data berupa fungsi linier disebut sebagai regresi linier.

Metode Kuadrat Terkecil ditemukan oleh Carl F. Gauss (matematikawan dan fisikawan ternama asal Jerman, abad ke-17) ketika ia masih berumur 18 tahun, dan karyanya ini masih dipakai sampai saat ini sebagai metode yang paling baik untuk menentukan hubungan linier dari dua variabel data. Dengan metode kuadrat terkecil, kita dapat menyajikan data dengan lebih berguna.

Diberikan tabel data tegangan listrik terhadap arus listrik pada sebuah hambatan/resistor sebagai berikut

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, tugas kita adalah mencari persamaan linier (garis lurus) terbaik yang menggambarkan data yang diberikan di atas. Metode kuadrat terkecil pada dasarnya adalah metode untuk meminimalisasi error titik data terhadap garis lurus terbaik.

Untuk mencari persamaan garis lurus terbaik yang menggambarkan data, berarti kita perlu mencari tahu harga a dan b dari persamaan garis lurus berikut

Mari kita mulai!

Misalkan fungsi sebenarnya dari data tersebut adalah sebagai berikut

dengan a dan b adalah parameter fungsi dan e adalah error data, seperti yang ditunjukkan pada gambar sebelumnya. Untuk itu, kita misalkan penyajian datanya oleh suatu fungsi pendekatan berikut

error data yang terjadi antara setiap titik data dengan nilai fungsi permisalan kita tadi adalah

N adalah banyaknya data.

Apabila ditetapkan fungsi

Maka, S adalah fungsi dari koefisien fungsi y; yaitu S = S(a, b);

Agar nilai S minimum, haruslah ditetapkan koefisien a dan b sehingga turunan parsial S terhadap a dan b sama dengan nol, maka dapat ditulis

“Ingat cara mencari maksimum-minimum dengan turunan, fungsi bernilai minimum (atau maksimum) saat turunan pertamanya sama dengan nol; dalam hal ini, turunan pertama fungsi S terhadap a atau b yang sama dengan nol adalah minimumnya.”

Fungsi error S menjadi

Turunan parsial terhadap a sama dengan nol; menghasilkan :

Turunan parsial terhadap b sama dengan nol; menghasilkan :

Didapatkan dua persamaan untuk mencari a dan b yang kita perlukan:

Dengan menggunakan teknik subsitusi dan eliminasi pada kedua persamaan di atas, dapat diperoleh bahwa:

Gradien terbaiknya adalah a,

atau bisa ditulis

Titik potong pada sumbu y terbaiknya adalah b,

atau bisa ditulis

Jadi persamaan berikut ini

adalah persamaan yang telah dapat mewakili penyajian data yang diberikan tadi.

Istilah-istilah:

Metode kuadrat terkecil ini berdasarkan pencarian garis lurus terbaik di mana dengan garis tersebut, semua titik data memiliki nilai error paling kecil.

metode ini disebut metode kuadrat terkecil karena kita memakai fungsi S yang merupakan jumlah error kuadrat setiap titik data, kemudian dicari nilai terkecil atau nilai minimum S agar setiap titik data ke garis lurus (dengan parameter a dan b) menjadi minimum pula.

Fungsi linier:

y adalah variabel terikat (nilainya berubah dengan berubahnya x)

x adalah variabel bebas, nilainya dapat diubah-ubah.

secara geometri: a dan b adalah suatu parameter yang mempengaruhi bentuk kurva; parameter a menunjukkan kemiringan kurva dan parameter b menunjukkan titik potong kurva di sumbu y.

Parameter adalah suatu nilai tertentu yang dapat mempengaruhi suatu kurva atau fungsi.

secara aljabar: a adalah koefisien dari x; dan b adalah konstanta fungsi y.

Dalam menyajikan grafik, terkadang kita tidak perlu kaku terhadap definisi x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat, jadi dalam menyajikan data boleh-boleh saja sumbu x menjadi sumbu y dan sebaliknya; misalnya untuk grafik jarak dengan waktu, kamu bisa menggambarkan grafiknya dengan sumbu y sebagai jarak dan sumbu x sebagai waktu, atau kamu juga bisa menggambarkan grafik dengan sumbu y sebagai waktu dan sumbu x sebagai jarak. Namun dalam fisika, sebaiknya dipilih grafik di mana gradiennya (Δy/Δx) memiliki arti fisis, untuk contoh ini, sebaiknya kamu memilih sumbu y sebagai jarak dan sumbu x sebagai waktu, karena gradiennya (Δy/Δx = jarak/waktu) memiliki arti fisis, yaitu kecepatan.