Sedikit tentang Keadaan Tunak (Steady State) dan Persamaan Laplace

Keadaan tunak (steady state) adalah keadaan di mana suatu sistem berada dalam kesetimbangan atau tidak berubah lagi seiring waktu, atau tunak, atau mantap.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Ada banyak fenomena di dunia ini yang bisa dianggap sebagai keadaan tunak. Contoh sistem yang tunak (steady state) adalah potensial listrik pada daerah yang bebas muatan (daerah tanpa muatan listrik), sistem dengan temperatur yang tidak berubah seiring waktu pada daerah yang bebas sumber panas, potensial kecepatan pada aliran takmampumapat yang bebas pusaran dan bebas sumber kecepatan.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Langsung ke contoh kasus,

Kita ambil contoh berikut: kawat 1 dimensi, panjangnya 10 cm, temperatur kawat dalam keadaan tunak, tidak ada kalor dari luar kawat yang masuk ke kawat dan tidak ada kalor yang keluar kawat. Adakah cara agar kita bisa mengetahui temperatur di sepanjang kawat tersebut hanya dengan mengetahui temperatur di ujung-ujung kawat saja?

Kawat Sepanjang 10 cm

Jawabannya: Ada.

Kita dapat mengetahui temperatur di sepanjang kawat untuk kasus ini dengan menggunakan persamaan Laplace. Sebelum kita lebih jauh, sebaiknya kita bahas dulu tentang apa itu persamaan Laplace.

Persamaan Laplace dalam koordinat kartesius ditulis seperti berikut

untuk menyingkat penulisan, digunakan operator Laplace ∇², berikut definisi dari operator Laplace dalam koordinat kartesius

Jadi, persamaan Laplace dapat ditulis secara lebih ringkas sebagai berikut

Nah, apa maksud dari persamaan Laplace ini? Persamaan Laplace adalah persamaan diferensial parsial yang menggambarkan sistem yang berada pada keadaan tunak (steady state), dicirikan dengan tidak adanya suku turunan terhadap waktu pada persamaan tersebut –artinya temperatur di sepanjang kawat tidak berubah seiring waktu. Ruas kiri persamaan menggambarkan laju perubahan besaran fisis j terhadap perubahan panjang atau ruang (besaran j bisa berupa apa saja: temperatur (T), tekanan (p), massa jenis (ρ), dan sebagainya)

Dalam hal ini besaran fisis yang kita akan cari adalah temperatur (T), jadi kita ganti j dengan T.

Karena T hanya bergantung pada x, diferensial parsial ( ∂ ) di atas berubah menjadi diferensial biasa seperti berikut

Kita akan mencari solusi persamaan Laplace 1 dimensi di atas, dengan menemukan solusi persamaan Laplace, kita dapat mengetahui temperatur di sepanjang kawat.

Mari kita pecahkan persamaan Laplace di atas secara analitik, kita integralkan dua kali kedua ruas persamaannya untuk mendapatkan solusinya (solusinya adalah temperatur)

Integralkan kedua ruas persamaan sekali lagi,

didapatkan

Atau dalam bentuk fungsi, T bergantung pada x, atau T(x) ditulis sebagai berikut

Solusi di atas biasanya disebut sebagai solusi umum, karena solusi ini berlaku umum untuk kasus kawat berapa pun temperatur di ujung-ujung kawat, C₁ dan C₂ juga belum kita ketahui. Nah untuk kasus kita di atas, kita perlu mencari tahu C₁ dan C₂ agar kita dapat mengetahui temperatur di sepanjang kawat, caranya sebagai berikut

temperatur di ujung-ujung kawat sudah diketahui (biasanya nilai-nilai di ujung–ujung atau di batas-batas  ini disebut sebagai syarat batas atau kondisi batas), kita masukkan ke solusi umum di atas

Kita dapatkan bahwa C₂ = 30

Kita dapatkan bahwa C₁ = 2

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Jadi untuk kasus kita di atas, kita dapatkan bahwa

Solusi di atas disebut solusi khusus, karena berlaku khusus untuk kasus kawat dengan temperatur ujung-ujung kawat 30⁰C dan 50⁰C.

Jika kita plot solusi khusus yang kita dapatkan tadi, maka hasilnya seperti berikut

Solusi Khusus Persamaan Laplace Kasus Kawat di Atas

Menarik bukan? Dengan persamaan Laplace kita bisa mengetahui temperatur di sepanjang kawat yang temperaturnya dalam keadaan tunak. Dengan persamaan Laplace kita tidak hanya bisa mencari temperatur pada kawat (1 dimensi), tapi juga bisa pada pelat besi (2 dimensi), atau juga balok (3 dimensi), dengan persamaan Laplace pula kita tidak hanya bisa mencari nilai temperatur, tapi bisa juga untuk mencari nilai dari besaran-besaran fisis yang sistemnya berada pada keadaan tunak (steady state).

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

____________________________________________________

Kasus 2 Dimensi

Untuk temperatur tunak pada pelat persegi panjang (panjang 1 meter dan lebar 0.7 meter) dengan temperatur di tepi-tepinya (syarat batas) seperti berikut

Pelat Tipis Berukutan 1 meter  x 0,7 meter

Persamaan Laplace yang dipakai adalah persamaan Laplace dua dimensi

Maka dengan persamaan Laplace di atas serta dengan syarat batasnya, kita dapatkan kontur warna temperaturnya seperti gambar berikut.

Solusi Temperatur (dalam derajat Celcius) Persamaan Laplace pada Kasus Pelat Tipis Kita

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Perlu Kamu Ketahui

:: Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang mana fungsi yang diturunkan tersebut bergantung pada banyak variabel, misalnya pada persamaan Laplace, fungsi j bergantung pada x, y, dan z, serta variabelnya tidak mempengaruhi satu sama lain.

:: Fenomena fisika yang dapat digambarkan dengan persamaan Laplace adalah fenomena fisika paling sederhana yang melibatkan persamaan diferensial parsial.

:: Kita hanya bisa menyelesaikan persamaan Laplace secara analitik (secara kalkulus atau intergral-diferensial) hanya untuk kasus-kasus yang sederhana saja, di mana geometri atau bentuk benda pada kasus masih sangat sederhana. Untuk kasus yang melibatkan geometri yang rumit, memecahkan persamaan Laplace secara analitik terkadang bisa dikatakan mustahil, sebagai gantinya kita dapat menyelesaikan kasus yang rumit secara numerik, maksud numerik di sini adalah dengan mengubah persamaan Laplace tersebut menjadi persamaan aljabar (diskritisasi persamaan Laplace) kemudian kita bisa mendapatkan solusinya melalui metode iterasi dengan bantuan komputer.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Salah Satu Geometri yang Rumit

:: Dasar untuk mempelajari modelling atau simulasi adalah memecahkan persamaan diferensial, baik secara analitik maupun numerik; termasuk di antaranya adalah memecahkan persamaan diferensial parsial yang paling sederhana yaitu persamaan Laplace.

http://fisikaveritas.blogspot.com: Diizinkan menyalin artikel ini jika mencantumkan FISIKAVERITAS sebagai sumbernya

Baca Juga:
Diskritisasi dan Listing Program C Persamaan Laplace 2-D