“Iterasi” Persamaan Linier Simultan dan Kegunaannya di dalam Sains dan Keteknikan

Iterasi, bagi Kamu yang sudah belajar tentang aljabar matriks atau persamaan linier simultan pasti sudah mengetahui teknik perhitungan iteratif (atau iterasi) untuk menemukan solusi numerik dari beberapa persamaan linier simultan.

Iterasi merupakan teknik perhitungan yang digunakan pada simulasi dan modelling berbasis komputer seperti untuk mengetahui distribusi suhu pada pelat logam, mengetahui kekuatan rangka baja, desain gedung pencakar langit, pembangunan pabrik, pembangunan jembatan, pembakaran pada mesin bermotor, aerodinamika, kekuatan sayap pesawat terbang, aliran fluida dalam sambungan pipa dan masih banyak lagi. Hampir semua simulasi komputer pasti menggunakan teknik iterasi di dalam perhitungannya.

Untuk Kamu yang belum mengetahui apa itu iterasi, mari kita simak bahasan berikut (dengan asumsi bahwa Kamu sudah familiar dengan teknik substitusi dan eliminasi persamaan aljabar):

Kita kembali ke persoalan aljabar sederhana seperti berikut

:: Andri membeli sebuah pulpen dan dua buah buku di toko Veritas dengan total harga Rp 8.000

:: Stefandi membeli sebuah pulpen dan sebuah buku di toko Veritas dengan total harga Rp 5.000

:: Berapakah harga sebuah pulpen dan sebuah buku di toko Veritas?

Akan lebih singkat jika kita tulis persoalan di atas dengan bahasa aljabar, dengan P adalah harga pulpen, B adalah harga buku; kita tulis sebagai berikut

Bentuk persamaan di atas biasanya disebut persamaan linier simultan. Untuk mengetahui P dan B, kita biasanya menggunakan teknik eliminasi atau substitusi sebagai berikut:

Kita lakukan eliminasi (menghapuskan) P pada kedua persamaan di atas dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut

Kita dapatkan bahwa harga buku (B) di toko Veritas adalah Rp 3.000

Bagaimana dengan harga pulpen (P) di toko Veritas? Kita dapat mengetahui harga pulpen (P) dengan melakukan substitusi (mengganti) B = Rp 3.000 ke persamaan Pembelian oleh Andri atau ke persamaan Pembelian oleh Stefandi, di artikel ini kita substitusi ke persamaan Pembelian oleh Stefandi

a

Jadi, harga sebuah pulpen (P) adalah Rp 2.000, dan

harga sebuah buku (B) adalah Rp 3.000

Kamu sudah mengetahui teknik perhitungan ini sejak duduk di bangku sekolah menengah. Teknik ini terbukti sangat berguna untuk bidang-bidang keilmuan lain seperti ekonomi, keteknikan, sosial, dan tak luput pula fisika.

Di fisika, penggunaan teknik ini dijumpai pada persoalan yang sederhana seperti berikut

Berapakah percepatan kedua balok (a) dan tegangan tali (T) pada sistem di atas jika katrol licin dan tidak ada hambatan dari luar?

Jika kita turunkan dari hukum II Newton SF = ma untuk balok merah dan balok biru, kita akan mendapatkan dua persamaan di bawah ini (dalam satuan internasional / SI)

Dengan teknik substitusi dan eliminasi, didapatkan

Satu hal yang penting dicatat dalam menyelesaikan masalah aljabar seperti di atas: jika ada dua variabel yang tidak diketahui nilainya maka dibutuhkan dua persamaan untuk mengetahui nilai dari variabel tersebut, nilai dari variabel tersebut biasanya kita sebut sebagai solusi dari persamaan tersebut.

Untuk kasus pembelian pulpen dan buku, ada dua variabel yang ingin kita ketahui yaitu P dan B, beruntungnya jumlah persamaan yang diketahui ada dua pula, maka solusi persamaan tersebut dapat kita cari, setelah kita hitung dengan teknik eliminasi-substitusi, solusinya: P = Rp 2.000 dan B = Rp 3.000; begitu pula untuk kasus fisika dasar tentang katrol di atas.

Sejauh ini teknik substitusi-eliminasi dapat kita gunakan dengan baik dan tanpa masalah yang berarti. Sekarang bayangkan jika ada 100 variabel yang ingin kita ketahui dan tersedia 100 buah persamaan yang terkait dengan variabel-variabel tersebut, apakah Kamu sanggup menghitungnya dengan teknik eliminasi dan substitusi seperti di atas? Kalaupun sanggup dan mau menghitungnya, akan sangat melelahkan dan membutuhkan waktu yang tidak sedikit untuk mencari solusi dari persamaan tadi. Kamu yang kritis mungkin bertanya, adakah kasus di dunia nyata yang melibatkan 100 buah variabel dan 100 buah persamaan? Jawabannya, ada. Memang, kasus yang melibatkan lebih dari 3 variabel jarang muncul pada persoalan sehari-hari kita, namun pada persoalan ekonomi global, simulasi komputer untuk sains dan keteknikan selalu melibatkan variabel yang sangat banyak, bahkan untuk kasus teknis, seringkali ada ribuan variabel yang hendak diketahui solusinya.

Karena keterbatasan teknik substitusi-eliminasi pada kasus-kasus yang melibatkan banyak variabel dan persamaan, munculah teknik perhitungan yang dinamakan teknik iterasi.

Iterasi

Iterasi adalah proses perhitungan berulang untuk mendapatkan solusi dari persamaan-persamaan aljabar tertentu. Tujuan iterasi sebenarnya sama saja dengan teknik substitusi-eliminasi, namun metodenya berbeda. Keuntungan menggunakan teknik iterasi adalah bahwa teknik iterasi dapat dengan mudah diterapkan pada program komputer daripada teknik substitusi-eliminasi; teknik substitusi-eliminasi tidak memiliki urutan penyelesaian yang kaku, seseorang yang menghitung dengan menggunakan teknik substitusi-eliminasi mungkin saja menggunakan langkah-langkah penyelesaian yang berbeda dengan langkah-langkah yang dilakukan oleh orang lain, maksudnya, seseorang mungkin melakukan substitusi di awal langkah perhitungannya di mana orang lain mungkin lebih senang melakukan eliminasi terlebih dahulu. Subtitusi-eliminasi sulit diterapkan pada program komputer apalagi untuk menyelesaikan banyak persamaan-persamaan serta variabel.

Iterasi –tampaknya– dirancang untuk dapat diterapkan pada program komputer dan karena komputer adalah mesin hitung yang cepat dan tepat, iterasi menjadi pilihan utama dalam menyelesaikan kasus dengan banyak persamaan aljabar serta variabel yang ingin diketahui solusinya.

Sekarang mari kita bahas tentang teknik iterasi. Teknik iterasi yang akan dibahas di sini adalah iterasi Gauss – Seidel (Penemunya: Gauss dan Seidel). Kita ungkit kembali kasus pembelian pulpen dan buku di toko Veritas dan kita akan menyelesaikannya dengan teknik iterasi Gauss – Seidel.

Kita juga bisa mengubah bentuk persamaan aljabar di atas ke bentuk matriks

masih ingat aturan perkalian matriks seperti di atas ‘kan? Matriks di atas sebenarnya penyederhanaan persamaan aljabar kita, dengan menggunakan matriks kita bisa lebih sedikit menghemat tenaga untuk menuliskan variabel-variabel yang bersangkutan, dalam hal ini P dan B ditulis satu kali saja dengan matriks, sedangkan dengan persamaan aljabar kita menuliskan P dan B masing-masing sebanyak dua kali, bayangkan jika ada 5 variabel atau lebih dan kita menuliskannya dalam bentuk persamaan aljabar biasa, tidak efisien ‘kan.

Masuk ke iterasi Gauss-Seidell.

Untuk memudahkan, kita sembunyikan simbol Rp.

Aturan hitungnya seperti berikut (kita pakai persamaan aljabar):

Nah, kita tulis persamaan di atas menjadi seperti berikut (bentuk yang lebih umum)

Superskrip k pada P dan B bukanlah pangkat, superskrip tersebut menunjukkan iterasi ke-k, dimulai dari 0 kemudian ke iterasi selanjutnya sampai iterasi ke-n.

Nah, nilai iterasi ke-0 (superskrip 0) sebenarnya adalah nilai tebakan awal kita terhadap solusinya, kita coba tebak harga pulpennya P⁽⁰⁾ = 1500, bebas berapa saja asalkan masuk akal. Nanti saat diiterasi, jika tebakan awal kita salah, maka perhitungan iterasi akan dengan sendirinya memperbaikinya. Kita lihat saja.

Masuk ke perhitungan, masukkan P⁽⁰⁾ = 1500.

Didapat P⁽¹⁾ = 3250, ini adalah hasil iterasi pertama dan langsung dimasukkan ke perhitungan B⁽¹⁾

Kita ulang lagi perhitungan untuk B⁽²⁾ dan P⁽²⁾:

Lakukan perhitungan berulang (iterasi) sampai hasil iterasi sudah tidak berubah lagi, atau sampai residu (sisa) dari iterasi sebelum dan setelahnya mendekati nol

Jika residu perhitungannya sudah nol atau mendekati nol maka hasil perhitungan terakhir tersebut adalah solusi dari persamaan-persamaannya.

Berikut adalah hasil hitung iterasi untuk kasus di atas

Didapatkan solusi untuk kasus ini adalah

P = Rp 2.000, dan

B = Rp 3.000

Perhitungan dengan iterasi ini terlihat membosankan dan terlalu lama, tetapi jika yang hendak kita cari adalah solusi dari 100 variabel dan persamaan, maka perhitungan dengan teknik iterasi dapat lebih mudah dan cepat dikerjakan, dengan bantuan komputer tentunya.

Sekedar untuk diketahui (dan boleh dilewati), bentuk umum dari iterasi Gauss-Seidell untuk n buah persamaan dan n buah variabel adalah seperti berikut

Persamaan linier simultannya

Pindah ruas untuk setiap variabel yang ingin diketahui, iterasi Gauss-Seidell

Okay, keep focus on this article.

Sampai sejauh ini semoga Kamu tidak pusing mengikuti bahasan ini yaa..

Kamu sekarang pasti sudah paham perhitungan dengan teknik iterasi.

Nah, sekarang mari kita bahas kegunaan iterasi agak lebih rinci:

Hampir semua persamaan fisika yang mendasari simulasi dan modelling komputer seperti simulasi komputer untuk tekanan uap pada pembangkit listrik, aliran udara (aerodinamika) pada pesawat terbang dan lain sebagainya adalah persamaan yang rumit dan hampir bisa dikatakan mustahil untuk dapat dipecahkan secara analitis. Ambil contoh persamaan fisika yang mendasari perilaku aliran fluida berikut (persamaan Navier-Stokes 1 dimensi)

Persamaan di atas hampir mustahil dipecahkan secara analitik, maksudnya, hampir mustahil kita bisa menemukan solusi u atau u(x,t) dari persamaan di atas dengan mengintegralkannya atau dengan teknik kalkulus lainnya. Memang, jika kita mendapatkan solusi analitiknya, kita akan mendapatkan solusinya dalam bentuk fungsi dan solusinya benar-benar mulus tanpa kesalahan (error). Namun sampai saat ini belum ada teknik kalkulus yang bisa memecahkan berbagai macam kasus yang melibatkan persamaan fisika yang rumit seperti di atas.

Daripada repot-repot mencurahkan banyak tenaga untuk mencari solusinya secara analitik, kita akan lebih menyukai solusinya secara numerik, maksudnya, persamaan kalkulus di atas kita ubah menjadi persamaan aljabar atau persamaan linier simultan, dengan sedikit modifikasi tentunya.

Dengan mengubah persamaan kalkulus menjadi persamaan aljabar, kita terhindar dari kerumitan kalkulus (seperti integral dan diferensial) dan kemudian memudahkan kita untuk menyelesaikannya secara numerik (secara hitung-hitungan aljabar biasa: tambah, kurang, kali, bagi, dsb.). Kita dapat menemukan solusi numeriknya dengan melakukan iterasi pada persamaan aljabar tadi; dan tentu saja pasti melibatkan banyak variabel. Kita lebih memilih solusi numerik karena kita telah mengembangkan perhitungan iterasi dan kita juga memiliki komputer yang dapat menghitung iterasi tersebut dengan cepat dan tepat. Memang, tidak seperti solusi analitik, solusi numerik mempunyai error perhitungan, maksudnya, hasil hitung secara numerik mungkin saja dapat berbeda dengan kenyataannya. Di lain pihak, lebih baik menggunakan solusi numerik daripada harus menunggu solusi analitik yang mungkin tidak akan pernah ada.

Optimasi sistem-sistem teknologi dan sains bisa kita lakukan dengan simulasi dan modelling berbasis komputer daripada membuat banyak percobaan yang mahal secara coba-coba. Hampir semua simulasi berbasis komputer pada dasarnya adalah mencari solusi numerik dengan teknik iterasi.

Artikel tentang iterasi selanjutnya akan membahas lebih rinci dan mempraktekkan beberapa simulasi berbasis komputer sederhana seperti simulasi untuk mengetahui profil temperatur pada pelat logam.

Baca juga:
Keadaan Tunak dan Persamaan Laplace
Diskritisasi dan Listing Program C Persamaan Laplace 2-D